PERSAMAAN KUADRAT

PERSAMAAN KUADRAT
Bentuk Umum Persamaan Kuadrat
Suatu persamaan yang membentuk x^2 sebagai pangkat paling tinggi, maka persamaan itu dinamakan persamaan kuadrat dalam dalam x atau persamaan berderajat dua dalam perubah variable x. Bentuk umumnya
ax^2+bx+c=0
dengan a, b, c ϵ R dan α≠ 0
Beberapa bentuk persamaan kuadrat :
x^2-6=0→a=1,b=0,dan c=-6
x^2-12=0→a=1,b=-12,dan c=0
x^2+9x=20=0→a=1,b=9,dan c=20
2x^2-5x+3=0→a=2,b=-5,dan c=3

Keterangan :
Jika a,b,dan c bilangn real maka bentuk umum ax^2+bx+c=0 disebut persamaan kuadrat real.
Jika a,b,dan c bilangan rasional, maka bentuk umum ax^2+bx+c=0 disebut persamaan kuadrat rasional.
Jika a=1 maka bentuk umum menjadi x^2+bx+c=0 disebut persamaan kuadrat biasa.
Jika b=0 maka bentuk umum menjadi ax^2+c=0 disebut persamaan kuadrat sempurna.
Jika c=0 maka bentuk umum menjadi ax^2+bx=0 disebut persamaan kuadrat tak lengkap.

Penyelesaian Persamaan Kuadrat
Oleh karena setiap persamaan kuadrat terdapat bentuk x^2, maka terdapat dua buah penyelesaian, yang disebut akar-akar persamaan kuadrat.

Cara menentukan akar-akar persamaan kuadrat :
Dengan memfaktorkan
Dengan melengkapkan kuadrat sempurna
Dengan memakai rumus kuadrat atau rumus abc
Dengan menggambarkan sketsa grafik fungsi

f:ax^2+bx+c=0

Menentukan akar-akar persamaan kuadrat dengan memfaktorkan
Misalnya persamaan kuadrat x^2-5x+6=0, dapat difaktorkan menjadi :
↔ (x-2)(x-3)=0
↔ (x-2)=0 atau (x-3)=0
↔ x=2 atau x=3
Jadi, penyelesaian adalah x_1=2 atau x_2=3
Dalam himpunan penyelesaian ditulis sebagai { 2, 3 }

Menentukan akar-akar persamaan kuadrat dengan melengkapkan kuadrat (kuadrat sempurna )
Misalkan persamaan kuadrat 〖 x〗^2-4x-5=0 dapat ditentukan akar-akarnya dengan melengkapkan kuadrat sebagai berikut :
〖 x〗^2-4x-5=0
↔ x^2-4=5
↔ (x-2)^2-4=5
↔ (x-2)^2=5+4
↔ (x-2)^2=9
↔ (x-2)=±√9
↔ x-2=3 atau x-2=-3
↔ x_1=5 atau x_2=-1
Jadi, penyelesaian persamaan kuadrat x^2-4x-5=0 adalah x_1=5 atau x_2=1
Dalam bentuk himpunan penyelesaian ditulis sebagai {5, 1}.
Menentukan akar-akar persamaan dengan menggunakan “rumus abc”.
Penyelesaian persamaan kuadrat ax^2+bx=c=0 dengan a≠0 adalah :
x_1=(-b+√(b^2-4ac))/2a atau x_2=(-b-√(b^2-4ac))/2a
atau ditulis :
x_1.2=(-b±√(b^2-4ac))/2a

SOAL DAN PEMBAHASAN
Persamaan (a-1) x^2+ax=0,a∈ R, merupakan persamaan kuadrat dalam x jika nilai adalah . . . . . . .
a>0
a2
Pembahasan:
Bentuk umum persamaan kuadrat : ax^2+bx+c=0 dengan a,b dan c∈ R dan a≠ 0 sehingga persamaan (a-1) x^2+ax+3=0 merupakan persamaan kuadrat adalah jika (a-1)≠0↔a≠1
(Jawaban d)

Persamaan x^2+2x-3=0 dan x^2+x-2=0 mempunyai sebuah akar persekutuan. Akar persekutuan tersebut adalah . . . . .(SKALU ’77)
3 c. 1 e. -4
2 d. 0
Pembahasan:
Yang dimaksud dengan akar persekutuan adalah nilai x yang memenuhi kedua persamaan.

Cara I : Mencari akar-akar persamaan dari kedua persamaan di atas.
Persamaan x^2+2x-3=0, koefisien-koefisien a = 1, b = 2, c = -3
• Memfaktorkan
x^2=2x-3=0
↔ (x+3)(x-1)=0
↔(x+3)=0 atau (x-1)=0
↔ x_1=-3 atau x_2=1

• Melengkapkan Kuadrat
x^2+2x-3=0
↔ x^2=2x=3
↔(x+1)^2-1=3
↔(x+1)^2=4
↔x+1=±√4
↔x+1=±2
↔x=-1±2
x_1=-1+2 atau x_2=-1-2
x_1=1 x_2=-3

• Rumus kuadratis
x_1.2=(-b±√(b^2-4ac))/2a=(-2±√(〖(2)〗^2-4(1)(-3)))/(2(1))
= (-2±√(4+12))/2=(-2±4)/2
x_1=(-2+4)/2 atau x_2=(-2-4)/2
x_1=1 atau x_2=-3
Jadi akar persamaan x^2+2x-3=0 adalah x_1=1 atau x_2=3
Persamaan x^2 + 2 – 2 = 0 dapat difaktorkan menjadi:
↔ (x + 2 )( x – 1 ) = 0
↔( x + 2 ) = 0 atau ( x – 1 ) = 0
↔x_(1 ) = -2 atau x_2 = 1
Akar persamaan x^2 + 2 – 2 = 0 adalah x_1 = -2 atau x_2 = 1
Jadi akar persekutuannya adalah x = 1

Cara II: Misalkan akar persekutuan itu x = p, maka nilai x = p disubtitusikan kepada kedua persamaan, didapat
p^2 + 2p – 3 = 0
p^2 + p – 2 = 0
P – 1 = 0
P = 1
Jadi akar persekutuannya adalah x = 1
( Jawaban C)

Rumus Jumlah dan Hasil Kali Akar – akar Persamaan Kuadrat

Akar – akar persamaan kuardat 〖ax〗^2 + bx + c = 0, dengan a ≠ 0, adalah :
x_1=(-b±√(b^2-4ac))/2a atau x_2=(-b-√(b^2-4ac))/2a

Jumlah akar – akar persamaan kuadrat
x_1+x_2=(-b+√(b^2-4ac))/2a+(-b-√(b^2-4ac))/2a
↔ x_1+x_2=(-b±√(b^2-4ac))/ (-b-√(b^2-4ac))/2a
↔〖 x〗_1+x_2=(-2b)/2a
x_1+x_2=-b/a

Hasil kali akar – akar persamaan kuadrat
↔ x_1 .x_2=(-b+√(b^2-4ac) )/2a x (-b-√(b^2-4ac))/2a
↔ x_1.x_2=((-〖b)〗^2-〖(√(b^2- 4ac))〗^2)/〖(2a)〗^2
x_1 . x_2 = c/a

Jadi, jika x_1 dan x_2 adalah akar – akar persamaan kuadrat 〖ax〗^2 + bx + c = 0, dengan a ≠ 0, maka jumlah dan hasil kali akar – akar persamaan kuadrat tersebut dapat ditentukan dengan rumus :
〖 x〗_1 + x_2 = -b/a dan x_1 . x_2 = c/a

SOAL DAN PEMBAHASAN
Jumlah kebalikan akar – akar persamaan 〖3x〗^2 – 9x + 4 = 0 adalah……(SIPEMARU’88)
a.-4/9 c. -9/4 e.3/4
b. -3/4 d. 9/4
Pembahasan
Persamaan 〖3x〗^2 – 9x + 4 = 0, koefesien – koefesiennya ; a = 3, b = – 9, dan c = 4
x_1 + x_2= -b/a = -((-9))/2 = 3

x_(1 .) x_2 = c/a = 4/3
Jumlah kebalikan akar-akarnya adalah :
1/x_1 +1/x_2 = (x_1+x_2)/(x_1.x_2 )=3/(4/3)= 9/4
Jadi jumlah keebalikan akar-akarnya adalah 9/4

About these ads

Tinggalkan komentar

Filed under matematika dan fisika

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s